Statistik i Matematik B
av Mikael Bonnier, Lund 1999

Kurs B innehåller det andra av tre statistikblock i gymnasieskolans kurser. Det första ligger i kurs A och det tredje i kurs C. Kursplanernas innehåll är fastställda av Skolverket. Redan i grundskolan skall eleverna kommit i kontakt med lägesmått, diagram och tabeller.

I matematikkurs A skall eleverna lärt sig att för hand och med dator eller grafritande räknare rita olika typer av statistiska diagram t ex lådagram, histogram och kanske även stambladdiagram (som är en typ av histogram). De skall även ha lärt sig att presentera data i tabeller. De skall ha lärt sig att kritiskt granska vanligt förekommande typ av statistik i samhället. Även vissa typer av affärsgrafik t ex cirkel-, linje- och stapeldiagram skall de ha lärt sig. Endast envariabelstatistik tas upp i kurs A.

I kurs C skall man lära sig det man behöver veta för att göra en stickprovsundersökning.

I kurs B, som det här handlar om, lär man sig sannolikhetslära och då introduceras stolpdiagram. Både stolpdiagrammen och histogrammen i kurs B skall kunna ritas med relativa frekvensen på y-axeln. Jag tycker att man även borde lära sig summapolygon eftersom det också används. Eleverna skall lära sig om spridningsmått (t ex variationsbredd, kvartilavstånd och standardavvikelse) och mer om lägesmått (medelvärde, median, kvartiler mm). De skall även lära sig egenskaper hos normalfördelade material och i samband med detta beräkna enkla sannolikheter. Detta är ett problem eftersom man inte tar upp integraler förrän i kurs D. I kurs B ingår även tvåvariabelstatistik. De skall lära sig att utifrån en tabell eller graf diskutera sambandet mellan två variabler samt inse skillnaden mellan korrelation och orsakssamband. 

En del av motivet till varför jag vill att eleverna skall lära sig detta framgår av historieavsnittet, det är dels överlevnadsskäl och dels filosofiska skäl. Det andra motivet är att de skall kunna undgå att bli lurade och kunna få ett gott grepp om vad som händer i samhället. Jag tror många forskare (som vissa av våra elever kommer att bli) väljer kvalitativa forskningmetoder framför kvantitativa enbart därför att de inte behärskar de kvantitativa.

Förutom rena statistikkunskaper innebär området träning i att omvandla mellan de olika matematiska representationsformerna: verbal, tabell, graf och formel. Att man sätter ord (t ex typvärde, median) på olika tal relaterade till ett datamaterial gör att uppmärksamheten skärps. Enligt Dunkels (i Nämnaren 100, 1991) kan arbete med stambladdiagram förbättra förståelsen för positionssystemet.

För en del elever är kurs B den sista mattekurs de läser. Jag tycker att de matematiska kunskaperna skall utgöra en fungerande helhet. För de som bara läser kurs B blir statistiken lite rumphuggen. Ett problem med statistiken är det är ett stort och vildvuxet ämne, som det är nu blir det mest definitioner av olika saker som inte utnyttjas speciellt mycket.

Eleverna
För att gå kurs B måste man vara godkänd på kurs A (tror jag). Vi kan låtsas att detta är en SPEK grupp där alla hade minst VG på kurs A och alla tänker läsa kurs C.

Lektionssvit
Den planerande lektionssviten startar precis efter sannolikhetsläran, även om sannolikheter kommer in lite grand i samband med normalfördelningen. På någon sannolikhetslektion har vi hört Tage Danielssons sketch om sannolikheten. Den sista lektionen i lektionssviten som handlar om spridningsdiagram och linjär anpassning ligger senare i kursen. Då har eleverna lärt sig funktioner och linjära modeller. Kursboken är Matematik 2000 kurs B version 2. 

Under hela kurs B skall eleverna redovisa populärvetenskapliga matteböcker som jag lånat ut i början av kursen. Eleverna får också själva lämna förslag på böcker. Anledningen till att mitt eget intresse för matematik väcktes berodde mycket på populärvetenskapliga böcker.

Lektionen innan Lektion 1 så berättar jag att vi nästa gång skall använda ett program som heter Statiscope. Eftersom Statiscope finns på Internet kan det användas av alla var som helst. All dokumentation finns online. Adressen är: <http://www.df.lth.se/~mikaelb/statiscope/statiscope-sve.shtml>. De ambitiösa eleverna får härigenom en möjlighet att sätta sig in i programmet i förväg.

Lektion 1
Statistik handlar om att behandla stora mängder av tal.

Statistikens historia
Statistiken utvecklades ursprungligen för att beskriva stater och den studerades främst av jurister i Tyskland i slutet på 1600-talet. I början av 1800-talet genomfördes folkräkningar i några europeiska länder. Under 17- och 1800-talet utvecklades statistiska metoder av läkare som ville avgöra om olika behandlingsmetoder var effektiva eller inte. Den moderna matematiska statistiken bygger på sannolikhetsläran. Under 1800-talet utvecklades statistiska metoder för att hantera mätfel. I slutet av 1800-talet började fysiker att beskriva gaser och andra system med många partiklar med så kallad statistisk mekanik. I början av 1900-talet utvecklades kvantmekaniken där statistiken och sannolikhetsläran spelar en avgörande roll. Vissa forskare bl a Einstein hade svårt att acceptera detta och han sa: "Gud spelar inte tärning." En ännu oavgjord fråga är om framtiden är förutbestämd av deterministiska lagar eller om den avgörs av den rena slumpen och om framtiden är beräkningsbar eller inte.

Numera så används statistik inom vitt skilda områden t ex kvalitetskontroll, informationsteori och underrättelsevetenskap.

I datorsalen
Den statistik som vi skall syssla med är främst beskrivande och inte så teoretisk.

I datorsalen presenterar jag statistikprogrammet Statiscope. Jag simulerar data på datorprojektorns skärm och går igenom de olika diagramtyperna och frågar vilka de känner igen sen tidigare. De får svara med handuppräckning. Jag frågar också för varje diagramtyp om de kan rita dem för hand givet data. Jag noterar svaren och anpassar min fortsatta undervisning efter dessa. Därefter visar jag grundfunktionerna i Statiscope.

Målet för återstoden av lektionen är att de med hjälp av Statiscope och matteboken skall ta reda på vad typvärde, nedre (1:a) kvartilen, median, övre (3:e) kvartilen och medelvärde är för något. De skall också ta reda på vad variationsbredd och kvartilavstånd är för något. 

Eleverna skall jobba i par som jag bestämt tidigare (mattepar), dessa ändras då och då. En elev sköter musen, den andre tangentbordet. Av egen erfarenhet vet jag att detta arbetssätt är lärorikt. Eleverna får manuellt mata in, simulera och hämta meningsfulla data från nätet och prova de olika inställningarna i programmet. De skall redogöra för sina upptäckter på ett papper som skall lämnas in i slutet av lektionen. De får sedan arbeta enskilt med uppgifterna i avsnittet "Några statistiska mått". Under hela lektionen går jag runt och hjälper till och ställer frågor för att övertyga mig om att de förstår vad det handlar om. Efter lektionen ögnar jag igenom papperen.

Lektion 2
Ett par redovisar boken Förstå siffror!, ca 15 min.

Papperen som skrevs förra lektionen återlämnas av ordningsvakterna. Det skall sparas i elevens matematikportfölj.

Jag visar på en OH-räknare hur man gör olika beräkningar och statistiska diagram med grafritande räknare och går vid behov igenom hur man gör dem för hand. 

•	Typvärde: det (eller de) vanligaste värdet.
•	Medelvärde eller empiriskt väntevärde: summan av datapunkterna delat med antalet datapunkter. 
•	Minimum: den minsta av datapunkterna. 
•	1:a kvartilen eller undre kvartilen: medianen av datapunkterna mellan det minsta värdet och medianen av alla datapunkterna. 
•	Median eller 2:a kvartilen: Om man sorterar datat är detta det mittersta i listan eller medelvärdet av de två mittersta, beroende på om antalet är udda respektive jämnt. 
•	3:e kvartilen eller övre kvartilen: medianen av datapunkterna mellan medianen av alla datapunkterna och det största värdet. 
•	Maximum: Det största värdet. 

Median används ofta i stället för medelvärde när man har data där vissa värden avviker mycket från de andra, medianen ger då en sannare beskrivning eftersom medelvärdet på verkas mycket. Detta kan eleverna själva prova. Begreppet medianlön används t ex.

Räknaren har ingen funktion för att beräkna typvärde. Jag utmanar de programmeringskunniga eleverna att skriva ett program till räknaren kallat MODE till nästa gång, de får skicka det med e-post. Den som har gjort det kortaste programmet får presentera det nästa gång. Man måste tänka på att det kan finnas flera typvärden, så programmet måste svara med en lista. Att skriva ett program innebär att man i detalj förklarar för datorn hur ett problem skall lösas och detta är lika lärorikt som att undervisa.

Ett exempel på stambladdiagram (fördel alla datapunkter bevarade):
28 0378999
29 1134778889999
30 00113334444468
31 2

och några motsvarande grafer:
   
Eleverna kan nu göra olika egna undersökningar med sina räknare t ex antal syskon, skonummer, eller vilka frågor de nu vill ta upp. En elev fungerar som sekreterare vid tavlan. Jag är ordförande. Övriga gör beräkningar. Vi diskuterar resultatens generaliserbarhet och eventuella felkällor.

Lektion 3
Ett par redovisar boken Hur man ljuger med statistik, ca 15 min.

Det kortaste programmet MODE presenteras av programkonstuktören med OH-räknaren. 

Korstabeller: Jag går igenom korstabeller. Eleverna löser enskilt uppgifterna i avsnittet "Samband mellan två variabler". Själv har jag precis nyligen lärt mig metoden med korstabeller i samband med forskningsmetodiska studier.

De som är klara ska tyst gå igenom tidningar (beställda via Tidningen i Skolan) och leta efter statistikmissbruk. Här samarbetar jag med lärarna i SO och företagsekonomi för att få lämpligt material. Eleverna får i uppdrag att hålla utkik efter och ta med sig exempel på statistikmissbruk till mattelektionerna.

Lektion 4
Ett par redovisar valda kapitel ur boken Kreativ statistik med EDA, ca 15 min.

I datorsalen
Eleverna skall kasta tärningar och mata in summorna i Statiscope. Eleverna har olika antal tärningar. De elever som har visat sig vara snabba och säkra i huvudräkning har fler. De skall spara på nätverket med filnamn som innehåller initialer och antal tärningar. Jag visar med datorprojektorn de olika filerna. Nu upptäcker förhoppningsvis eleverna att ju fler tärningar man summerat desto mer likt normalfördelningen blir det. Situationen i verkligheten är ofta sådan att resultatet av en observation beror på summan av många små slumpmässiga bidrag, det är därför som data ofta är normalfördelat. Det är viktigt att påpeka att allting inte är normalfördelat, t ex livslängder är det inte. Statiscope (version 1.0) är gjort för normalfördelade data, men de grafiska metoderna är inte beroende av detta.

Jag reder ut skillnaden mellan begreppen population och stickprov. Jag förklarar vårt sista spridningsmått, standardavvikelsen. Jag förklarar hur standardavvikelsen beräknas manuellt. Jag berättar mer om statistiska beräkningar på grafritare.

Eleverna löser enskilt uppgifterna i avsnittet "Normalfördelning". Eftersom varken numeriska integraler eller -funktionen används i matteboken så blir uppgifterna väldigt tillrättalagda. Jag visar därför intresserade elever hur man kan använda räknarens integreringsfunktion för lösa problemen. De kan för tillfället betrakta det som en magisk formel som fungerar. Normalfördelningen borde tas upp igen i kurs D eller E i samband med integraler.

Lektion 5
Ett par redovisar valda delar ur boken The Cartoon Guide to Statistics, ca 15 min. 

Denna statistiklektion genomförs när vi befinner oss i kapitlet “Funktioner och linjära modeller. I avsnittet "Linjära modeller", avdelningen "Spridningsdiagram" handlar det om linjär anpassning med grafritande räknare. Jag visar hur man gör detta och jag visar även exempel på hur man gör residualanalys. Detta innebär helt enkelt att man plottar skillnaden mellan datapunkterna och den linjära modellen. Exempel:

	Data och regressionslinje	Standardiserade residualer	
1	
Y = 3.000 + 0.500x	
Ganska "normal".	
2	
Y = 3.001 + 0.500x	
Man borde ha använt kvadratisk regression.	
3	
Y = 3.002 + 0.500x	
"Uteliggaren" påverkar regressionslinjen kraftigt.	
4	
Y = 3.002 + 0.500x	
Man borde ha skaffat datapunkter med olika x-värden.	

Korrelation är ungefär sambandet mellan variablerna. Om datapunterna ser ut att ligga längs någon kurva har man en korrelation. Denna kan vara positiv eller negativ och ligger mellan -1 och 1. Om den är 0 har man ingen korrelation. Bara för att man har en korrelation mellan två variabler så innebär inte detta att man har ett orsakssamband. T ex finns det en korrelation mellan glassförsäljning och drunkningsolyckor, men det innebär inte nödvändigtvis att glass orsakar drunkning eller att drunkningsolyckor leder till att folk köper mer glass. I stället kan bägge vara kopplade till en tredje variabel t ex vädret. Detta är viktigt att veta så att man inte blir vilseledd.

Utvärdering
Eleverna utvärderas delvis med det inledande papperet om läges och spridningsmått. Detta får de förbättra under kursens gång. Bokredovisningarna utvärderas också. Det lär finnas ett centralt prov på kurs B, om det är så så ges det. Eleverna utvärderar kursen. Jag delar ut en enkät eller så får de fylla i ett formulär på skolans intranät. n